TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

Na mecânica clássica, a função de Lagrange, lagrangiana ^{(português brasileiro)} ou lagrangiano ^{(português europeu)} (${\displaystyle {\mathcal {L}}}$) de um sistema é uma função expressa em termos das coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{i}}$, da taxa de variação dessas coordenadas (velocidades generalizadas) ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ e do tempo t, e dada matematicamente pela diferença entre a energia cinética (${\displaystyle T}$) e a energia potencial generalizada (${\displaystyle U}$) do sistema:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}=T-U}$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

.^{[Ref. 1][Ref. 2][Ref. 3]}

Por padrão a energia potencial é função apenas das coordenadas generalizadas (sistemas conservativos) e/ou do tempo, contudo, a exemplo do que observa-se para o caso eletromagnético, quando na forma adequada, admite-se o uso de um potencial "generalizado", esse função também das velocidades generalizadas. O potencial eletromagnético generalizado^{[1][Ref. 3]} permite a descrição de partículas elétricas imersas em campos eletromagnéticos via Mecânica de Lagrange, a exemplo. Forças dissipativas proporcionais às velocidades generalizadas também são admissíveis via potenciais dissipativos, a exemplo o potencial dissipativo de Rayleigh.^{[2][3] [Ref. 3]}

A lagrangiana é termo central na integral temporal que define o que se denomina em Física por ação. Diferente da Mecânica de Newton, junto com o princípio de Hamilton da ação em extremo, a lagrangiana e a Mecânica de Lagrange definem toda a dinâmica de um sistema sem recorrer a vetores e diagramas vetoriais, fazendo-o de forma a usar essencialmente funções escalares. Nesses termos a lagrangiana porta-se como uma equação fundamental do sistema a qual associa-se, encerrando em si todas as informações acerca do sistema. Pode-se pois, a partir dela e do formalismo atrelado à Mecânica de Lagrange, obter qualquer informação desejada acerca do sistema. A lagrangiana possui dimensões de energia, joules no S.I..^{[Ref. 1][Ref. 2][Ref. 3]}

Associado à lagrangiana de um sistema, via Transformada de Legendre, tem-se o hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ do sistema, essa uma função das coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_{i}}$, dos momentos conjugados generalizados ${\displaystyle p_{i}}$ e do tempo t. O Hamiltoniano ${\displaystyle H_{(q_{i},p_{i},t)}}$, definido por H = T + U, também caracteriza uma equação fundamental, e juntamente com o formalismo da Mecânica de Hamilton, constitui formalismo alternativo plenamente equivalente ao de Lagrange no que tange à descrição da dinâmica do sistema.^{[Ref. 2]} Tais formalismos encontram importante aplicação também dentro da relatividade.^{[Ref. 4]}

Embora amplamente aplicada ao campo da dinâmica de energia e matéria, o cálculo variacional não limita o raciocínio à campos específicos da Física. Diversos problemas nas mais variadas áreas mostram-se suscetíveis ao tratamento similar.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Mecânica[editar | editar código-fonte]

Partícula livre

Uma partícula livre move-se em ausência de força resultante, idealmente em ausência de força aplicada. Logo sua lagrangiana define-se apenas por sua energia cinética em caso limite.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-U=T={\frac {1}{2}}m[{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}]}$

X

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conforme convenção, ${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}=v_{x}}$ e assim por diante.

Para movimento confinado ao plano xy, e em coordenadas polares:

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

de onde, derivando-se:

${\displaystyle {\dot {x}}={\dot {r}}\cos \theta -r{\dot {\theta }}\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {y}}={\dot {r}}\sin \theta +r{\dot {\theta }}\cos \theta }$

Quadrando-se as velocidades generalizadas e com o auxílio de algumas relações trigonométricas tem-se pois que:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},t)}={\frac {1}{2}}m[{\dot {r}}^{2}+{(r{\dot {\theta }})}^{2}]}$

X

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Máquina de Atwood

Máquina de Atwood. No texto, x corresponde à distância da massa da esquerda (massa M1) até a linha horizontal que passa pelo centro do disco. A altura da massa M2 é l-x, onde l representa tamanho total de corda em suspensão.

Na máquina de Atwood, considerando g a aceleração da gravidade, M₁ a massa da esquerda e M₂ a massa da direita, a energia potencial do sistema escreve-se:

${\displaystyle U=-M_{1}gx-M_{2}gy}$ ,

X

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uma vez adotado o nível de referência como sendo uma linha horizontal a passar pelo centro do disco. Nessa situação x e y representam os tamanhos em suspensão da corda que sustentam respectivamente as massas M₁ e M₂.

Há um vínculo entre x e y de tal forma que ${\displaystyle x+y=c}$ é uma constante, o tamanho total de corda em suspensão. Nesses termos, basta uma coordenada generalizada para descrever-se o problema, à escolha, x, e reescreve-se a energia potencial gravitacional como:

${\displaystyle U=-M_{1}gx-M_{2}g(c-x)}$

X

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Em uma máquina de Atwood ideal a polia e a corda têm massas desprezíveis se comparadas às massas M₁ e M₂. Nesse caso a energia cinética total se escreve:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M_{1}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}\left({\frac {d(c-x)}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2}){\dot {x}}^{2}}$

X

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e a função de Lagrange escreve-se:

${\displaystyle L_{(x,{\dot {x}},t)}=T-U={\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2}){\dot {x}}^{2}+M_{1}gx+M_{2}g(c-x)}$

X

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que encerra em si toda informação necessária ao cálculo da dinâmica do sistema.

Seguindo-se com o formalismo de Lagrange, tem-se que a equação de movimento deve satisfazer à equação de Lagrange:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$ .

X

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Neste caso há apenas uma coordenada generalizada, q_i = x. Determinando-se as derivadas tem-se:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=(M_{1}-M_{2})g}$

X

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${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M_{1}+M_{2}){\dot {x}}}$

X

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${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=(M_{1}+M_{2}){\ddot {x}}}$

X

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Levando os resultados à equação de Lagrange tem-se a equação diferencial para o sistema:

${\displaystyle {\ddot {x}}=a={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}g}$

X

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onde a é a aceleração das massas. Tal equação é análoga à obtida via aplicações diretas da lei de Newton conforme descrito em artigo específico, conforme esperado.

A equação horária para x obtém-se com facilidade doravante mediante integração, sendo a resposta análoga à de um movimento retilíneo uniformemente variado com aceleração constante ${\displaystyle a={\ddot {x}}}$:

${\displaystyle x_{(t)}=X_{0}+V_{0}t+{\frac {1}{2}}\left({\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}g\right)t^{2}}$

X

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com ${\displaystyle X_{0}}$ e ${\displaystyle V_{0}}$ correspondendo a constantes, respectivamente o comprimento em suspensão inicial da corda para a massa M₁ e a velocidade descendente inicial (no sentido de x crescente) da massa M₁, determinados no instante em que zera-se o tempo (t=0s).

A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu conceptor, Joseph-Louis Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que combina a conservação do momento linear com a conservação da energia. Exposta pela primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de um potente ferramental matemático equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como por exemplo, o formalismo newtoniano.

Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtida resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeiro tipo,^[1] que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange;^[2][3] e as equações de Lagrange de segundo tipo, que incorporam as restrições diretamente na escolha das coordenadas generalizadas.^[1][4] O lema fundamental do cálculo das variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza a funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de Lagrange ${\displaystyle L\,\!}$ no tempo.

Dado um conjunto de coordenadas generalizadas ${\displaystyle q=\{q_{i}\}\,\!}$ para descrever o sistema físico estudado, a Lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais ${\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q_{i}}},t)\,\!}$, 

X

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em que ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}\equiv {\frac {dq_{i}}{dt}},\,\!}$ que são as velocidades generalizadas.

Pelo Princípio de Hamilton,^[5] que nos diz que o trajeto real da partícula,^[6] entre os instantes ${\displaystyle t_{i}\,\!}$ e ${\displaystyle t_{f}\,\!}$ é aquele que minimiza a ação ${\displaystyle S\equiv \int _{t_{i}}^{t_{f}}L(q_{i},{\dot {q_{i}}},t)dt\,\!}$ . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos ^[7] as equações de Euler-Lagrange

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=0,\,\!}$

X

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que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em ${\displaystyle t\,\!}$.

No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)=Q_{i}^{ext}\,\!}$

X

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em que ${\displaystyle Q_{i}^{ext}=\sum _{j}^{N}{\vec {F}}_{j}^{ext}\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}_{j}}{\partial q_{i}}}}$ 

X

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são as forças generalizadas externas.

A mecânica lagrangiana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. Com isso, ela é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.

Lagrangiano e ação[editar | editar código-fonte]

O elemento central da mecânica de Lagrange é a função de Lagrange, função que resume a dinâmica de todo o sistema em uma expressão muito simples. A física de análise de um sistema é reduzida para a escolha do conjunto mais conveniente de coordenadas generalizadas, determinando as energias potencial e cinética dos constituintes do sistema, então escrevemos a equação do Lagrangeano nas equações de Lagrange. Que é definido pela^[13]

${\displaystyle L=T-V,}$

X

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onde T é o total de energia cinética V é o total de energia potencial do sistema.

O próximo elemento fundamental é a ação ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, definida como a integral do Lagrangeano no tempo:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t.}$

X

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Este contém também a dinâmica do sistema, e tem implicações teóricas profundas. Formalmente a ação não é uma função, mas um funcional: seu valor depende da função de Lagrange em todos os instantes entre t₁ e t₂. Sua dimensão é a mesma do momento angular.

Na teoria de campos, a densidade lagrangiana deve ser utilizada:

${\displaystyle L=\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\,}$

X

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e a ação torna-se um integral no espaço e no tempo:

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\mathrm {d} t.}$

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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Em física de partículas, a teoria de Kaluza-Klein (KK) é uma teoria que visa unificar duas das forças fundamentais da natureza, a gravitação e eletromagnetismo.^[1] A hipótese original foi apresentada por Theodor Kaluza, que remeteu seus resultados a Einstein em 1919,^[2] e a teoria foi publicada pela primeira vez em 1921,^[3] que estendeu a relatividade geral para um espaço-tempo a cinco dimensões.

As equações resultantes podem ser separadas em conjuntos de equações, um desses conjuntos é equivalente as equações de campo de Einstein, outra equivalente as equações de Maxwell para o campo electromagnético e a parte final um campo escalar extra atualmente denominada de "radion" ou "dilaton". Atualmente, sabe-se que essa teoria está sendo usada para a elaboração de uma nova síntese teórica devido à suposição de uma nova partícula no modelo padrão.

Teoria original de Kaluza-Klein[editar | editar código-fonte]

Na teoria de Kaluza –Klein original, para uma entidade geométrica convencional dimensão d estão associados entidades dimensionais d + 1: Um ponto espaço-tempo-quadridimensional, portanto, implica numa curva fechada (d = 1), e a trajetória ( d = 1 ) de duas partículas que colidem pode ser pensada e estudada sobre dois tubos unidos (d = 2).

Historicamente, essa abordagem Kaluza-Klein, assim chamada porque as primeiras tentativas nesse sentido foram feitas por Theodor Kaluza (1921) e, um pouco mais tarde, por Oskar Klein (1926), começou como um programa teórico que procurou unificar as forças gravitacional e eletromagnética como efeitos de curvatura de uma variedade pseudoriemanniana em 5 dimensões. Isto é conseguido por equações de Einstein considerando o vácuo em 5 dimensões:

${\displaystyle R_{AB}[g_{AB}]=0}$, com o tensor (em cinco dimensões) Ricci ${\displaystyle R_{AB}}$ dependendo, o primeiro passo, de uma métrica da forma demonstrada abaixo.

O ponto de partida de Kaluza foi introduzir um espaço-tempo de cinco dimensões no qual o tensor métrico de dito espaço-tempo continha a métrica quadridimensional ${\displaystyle g_{ij}\;}$ e o potencial vetor ${\displaystyle A_{i}\;}$ do campo eletromagnético, mais duas funções escalares ${\displaystyle \sigma ,\phi }$:

${\displaystyle [{\hat {g}}_{AB}]={\begin{pmatrix}g_{ab}+\kappa ^{2}\phi ^{2}A_{a}A_{b}&\kappa \phi ^{2}A_{a}\\\kappa \phi ^{2}A_{b}&\phi ^{2}\end{pmatrix}}}$

Aqui seguimos a convenção de que as maiúsculas latinas A, B,... representam índices tensoriais que vão de 0 a 4, e as minúsculas a, b,... representam índices tensorias de 0 a 3. Assim, as 5 coordenadas de um espaço-tempo de Kaluza seriam ${\displaystyle \{x^{A}\}=\{x^{a},x^{4}\}=\{x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},x^{4}\}}$, donde a coordenada 0-ésima é a coordenada temporal e a coordenada 4-ésima é a coordenada associada à quinta dimensão adicional e as outras três são as coordenadas espaciais ordinárias.^[4]

O passo seguinte da proposta de Kaluza é impor artificialmente a chamada condição cilíndrica que consiste em impor que nenhuma das componentes do tensor pentadimensional ${\displaystyle {\hat {g}}_{AB}\;}$ depende da coordenada adicional x⁴, nesse caso, as equações de campo de Einstein^[5] [6] se reduzem às condições do eletromagnetismo clássico mais equações da relatividade geral, mais uma equação adicional para o campo escalar adicional:

${\displaystyle {\hat {R}}_{AB}-{\cfrac {\hat {R}}{2}}{\hat {g}}_{AB}=0\quad \Rightarrow {\begin{cases}R_{ab}-{\cfrac {R}{2}}g_{ab}={\cfrac {\kappa ^{2}\phi ^{2}}{2}}T_{ab}^{(EM)}-{\cfrac {1}{\phi }}\left[\nabla _{a}(\partial _{b}\phi )-g_{ab}\Box \phi \right]\\\nabla ^{a}F_{ab}=-3{\cfrac {\partial ^{a}\phi }{\phi }}F_{ab}\\\Box \phi ={\cfrac {\kappa ^{2}\phi ^{3}}{4}}F_{ab}F^{ab}\end{cases}}}$

Estas equações têm a seguinte interpretação: se se considera um espaço-tempo quase-vazio, de topologia ${\displaystyle {\mathcal {M}}\times S^{1}}$ cinco dimensões com a métrica adequada, então o movimento de uma pequena partícula de prova carregada no mesmo se parece o que teria dita partícula num espaço-tempo de quatro dimensões ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ no qual se haja introduzido um campo eletromagnético. É dizer, o campo eletromagnético efetivo no qual vê uma partícula carregada no espaço-tempo ordinário pode interpretar-se como o resultado geométrico da curvatura de um espaço-tempo de cinco dimensões.^[7]

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

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Teorias do tipo Kaluza-Klein[

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As diversas versões das teorias de cordas e supercordas são, de fato, teorias de Kaluza-Klein combinando princípios de quantização. Por exemplo, existem versões de teoria de cordas de 10, 11 e 26 dimensões. Por exemplo, na versão da teoria de supercordas, além da dimensão temporal e das três dimensões espaciais ordinárias, se conjetura que as dimensões adicionais poderiam ter uma topologia de variedade de Calabi-Yau de seis dimensões (isto contrasta com a topologia simples da teoria original de Kaluza na qual a dimensão adicional é um círculo: ${\displaystyle S^{1}}$).

Modernamente, as teorias de Kaluza-Klein também aparecem em cosmologia. Diversos relativistas têm investigado as consequências das equações de Einstein em tempo-espaço de mais de quatro dimensões:

• Por exemplo, o enfoque STM ("Space-Time-Matter") é uma teoria em cinco dimensões na qual a dimensão adicional tem a ver com o valor da massa em repouso das partículas. De fato, dentro de certo modelo dentro de dito enfoque a massa de uma partícula variaria segundo a lei:^[8]

${\displaystyle {\frac {\dot {m}}{m}}={\frac {A}{t}}}$ donde:

• 
  
• 
  

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

• m é a massa da partícula,
• A uma constante e
• t a idade do universo em expansão.

Diversas anomalias detectadas pela Viking quando passava pela órbita de Marte mostraram variações aparentes de ordem ${\displaystyle \pm 4\cdot 10^{-12}{\mbox{yr}}^{-1}}$ que podem ser explicadas mediante um valor de A = 0,11, dada a idade atual do universo.

• Outro enfoque para descrever sua teoria de Expansão cósmica em escala com a ajuda de uma quinta dimensão, tem sido levada em conta o físico C. Johan Masreliez com o que ele chama "Dynamic incremental scale transition", DIST.^[9] Isto conduz a uma possível conexão com a mecânica quântica e um toque de origem da inércia.^[10]

Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do tensor de curvatura. Pode ser pensado como um laplaciano do tensor métrico no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicado por uma constante, então temos variedade de Einstein. A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso. Esse é mais um caso especial de tensor de Riemann, tendo uma contração em alguns índices seus, como o seguinte exemplo:

${\displaystyle {R_{ij}=R_{iaj}^{b}=\partial _{b}\Gamma _{ji}^{b}-\partial _{j}\Gamma _{bi}^{b}+\Gamma _{bc}^{b}\Gamma _{ji}^{c}-\Gamma _{jc}^{b}\Gamma _{bi}^{c}}}$,

X

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

sendo o símbolo de Christoffel representado por

${\displaystyle {\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }={\frac {1}{2}}g^{\rho \lambda }(g_{\alpha \lambda ,\beta }+g_{\lambda \beta ,\alpha }-g_{\beta \alpha ,\lambda })}}$.

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FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

Definição[editar | editar código-fonte]

A curvatura de Ricci pode ser explicada em termos da curvatura seccional da seguinte maneira: para um vector unitário v, <R(v), v > é soma das curvaturas seccionais de todos os planos atravessados pelo vector v e um vector de um marco ortonormal que contém v (há n-1 de tais planos). Aqui R(v) é a curvatura de Ricci como um operador linear no plano tangente, e <.,.> é o produto interno. A curvatura de Ricci contém a mesma informação que todas as tais somas sobre todos os vectores unitários. Nas dimensões 2 e 3 este é o mesmo que especificar todas as curvaturas seccionais ou o tensor de curvatura, mas em dimensões mais altas a curvatura de Ricci contém menos informação. Por exemplo, as variedades de Einstein não têm que ter curvatura constante nas dimensões 4 ou maiores.

Aplicações do tensor de curvatura de Ricci[editar | editar código-fonte]

A curvatura de Ricci pode ser utilizada para definir as classes de Chern de uma variedade, que são invariantes topológicos (portanto independentes da escolha da métrica). A curvatura de Ricci também é utilizada no fluxo de Ricci, onde uma métrica é deformada na direção da curvatura de Ricci. Em superfícies, o fluxo produz uma métrica de curvatura de Gauss constante e segue o teorema de uniformização para as superfícies. A curvatura de Ricci desempenha um papel importante em relatividade geral, onde é o termo dominante nas equações de campo de Einstein.

Topologia global e a geometria de curvatura de Ricci positiva[editar | editar código-fonte]

O teorema de Myers estabelece que se a curvatura de Ricci é limitada por baixo em uma variedade completa de Riemann por ${\displaystyle \left(n-1\right)k>0\,\!}$, então seu diâmetro é ${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$, e a variedade tem que ter um grupo fundamental finito. Se o diâmetro é igual a ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$, então a variedade é isométrica a uma esfera de curvatura constante k.

A desigualdade de Bishop-Gromov estabelece que se a curvatura de Ricci de uma variedade m-dimensional completa de Riemann é ≥0 então o volume de uma esfera é menor ou igual ao volume de uma esfera de mesmo raio no m-espaço euclideano. Mais ainda, se ${\displaystyle v_{p}(R)}$ denota o volume da bola com centro p e raio ${\displaystyle R}$ na variedade e o ${\displaystyle V(R)=c_{m}R^{m}}$ denota o volume da bola de raio R no m-espaço euclidiano então a função ${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$ é não crescente (a última desigualdade pode ser generalizada a uma cota de curvatura arbitrária e é o ponto dominante na prova do teorema de compacidade de Gromov).

O teorema de partição de Cheeger-Gromoll indica isso se uma variedade completa de Riemann com o Ricci ≥ 0 tem uma linha reta (ou seja, uma geodésica minimizante infinita de ambos os lados) então é isométrica a um espaço R x L, onde L é uma variedade de Riemann.

Todos os resultados acima mencionados demonstram que a curvatura de Ricci positiva tem certo significado geométrico, em contrário, a curvatura negativa não é tão restritiva, em particular como foi demonstrado por Joachim Lohkamp, qualquer variedade admite uma métrica de curvatura negativa.